Kann mich der Vermieter fristlos kündigen oder muss er die Kündigungsfrist einhalten?

Da du die Mietrückstände mittlerweile beglichen hast, droht dir aktuell keine Kündigung. Da du bezahlt hast, BEVOR du gemahnt bzw. gekündigt wurdest, hat sich die Sache erledigt.

Wenn du wieder einmal in Geldnöte kommen solltest, musst du unbedingt (am besten sogar noch vorab) mit deinem Vermieter sprechen und um einen Zahlungsaufschub bitten. Es ist sinnvoll, dass du die Korrespondenz bspw. per E-Mail führst. Dann hast du schriftlich, dass dir dein Vermieter einen Zahlungsaufschub gewährt. Allerdings kannst du dich dann im Fall der Fälle auch nicht mehr herausreden, du hättest bspw. nicht bemerkt, dass das Geld nicht von deinem Konto abgegangen ist.

Du solltest immer versuchen, zusammen mit deinem Vermieter eine für beide Seiten akzeptable Lösung zu finden. Denn nur so vermeidest du es, dass der Vermieter dich gängelt etc. Falls du aber keine einvernehmliche Lösung finden kannst, solltest du immer die Miete überweisen. Die Nebenkostenvorauszahlung kannst du dann zur Not weglassen. Schreibe aber bei deiner Überweisung als Betreff unbedingt "Miete", damit klar ist, was du überweist. Wenn du die Nebenkostenvorauszahlung nicht begleichst, stehst du bei deinem Vermieter natürlich in der Kreide. Aber er kann dich erst aus der Wohnung werfen, wenn diese Schuld höher als eine Kaltmiete ist.

Angenommen, du musst für die Jahresabrechnung der Nebenkosten eine Nachzahlung leisten, kannst du diese auch erst einmal zurückstellen und nicht bezahlen. Der Vermieter kann versuchen, diesen Betrag von dir einzutreiben (per Gerichtsvollzieher etc.). Er kann dir aber nicht den Mietvertrag kündigen, denn dies geht nur, wenn du ihm laufende Kosten (Miete, Nebenkostenvorauszahlung o.Ä.) schuldest. Die Nachzahlung gehört hier nicht dazu und rechtfertigt deshalb auch keine Kündigung.

Als Zusammenfassung empfehle ich allen Mietern mit aufgelaufenen Zahlungsrückständen folgende Vorgehensweise:

1) Findet eine gemeinsame Lösung zusammen mit dem Vermieter
2) Spart überall anders und bezahlt zur Not andere Rechnungen zunächst nicht (macht das aber nicht zu lange, damit kein Inkassoverfahren droht).
3) Zur Not sollte man sich mit der Nachzahlung der Nebenkosten etwas Zeit lassen.
3) Erst wenn diese Punkte alle ausgeschöpft sind, sollte man die Nebenkosten nicht bezahlen. Man sollte aber unbedingt darauf achten, die Schuld nicht zu groß werden zu lassen.

Wenn man mit der Miete zwei Monate im Rückstand ist, kann der Vermieter ohne Einhaltung von Fristen kündigen.
Daher raten Mieterschutzverbände oder Schuldnerberatungen, bei Zahlungsschwierigkeiten immer bevorzugt die Miete und Energiekosten zu zahlen, dann erst alles andere.
Wenn bereits im Vorfeld bekannt ist, dass es zu Zahlungsengpässen kommen kann, sollte man besser sofort das Gespräch mit dem Vermieter suchen. Vermieter sind grundsätzlich daran interessiert, dass die Miete gezahlt wird und die meisten von ihnen auch bereit, eine gemeinsame Lösung zu finden, wenn die Mieter in finanzielle Schwierigkeiten geraten.
Wichtig ist allerdings, das Gespräch zu suchen, bevor sich Rückstände angehäuft haben.
Sollte in diesem Fall noch keine Kündigung eingegangen und die Mietrückstände vollständig gezahlt worden sein, ist es eher unwahrscheinlich, dass der Vermieter jetzt noch eine Kündigung ausspricht.
Dennoch würde ich, sollte erneut eine solche Situation drohen, umgehend auf den Vermieter zugehen und ihm die Situation darlegen.

Der Vermieter kann fristlos kündigen, wenn der Mieter mit der Mietzahlung erheblich im Zahlungsverzug ist, dass bedeutet wenn der Mieter in zwei aufeinanderfolgenden Monaten keine Miete bezahlt hat oder wenn in zwei aufeinanderfolgenden Monaten die Miete nur teilweise gezahlt wurde und insgesamt mehr als eine Monatsmiete Schulden vorhanden sind.
Der Vermieter muss den Mietrückstand nicht anmahnen und kann kündigen. Zahlt der Mieter nach zwei Monaten, wird die fristlose Kündigung des Vermieters durch die Schonfrist unwirksam. Wenn eine wirksame fristlose Kündigung vom Vermieter an den Mieter schriftlich zugestellt wurde, bleiben 1-2 Wochen Räumungsfrist um auszuziehen.