Warum muss Sinus immer 180 ergeben und Cosinus immer 360?

1. Sinus und Kosinus sind trigonometrische Funktionen, die in einem rechtwinkligen Dreieck definiert werden. Der Sinus ist das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse des Dreiecks, während der Kosinus das Verhältnis der Länge der anliegenden Seite zur Hypotenuse ist. Da die Summe der Winkel in einem Dreieck immer 180 Grad beträgt, ergibt sich aus dieser Beziehung, dass der Sinus einer Seite gleich dem Kosinus der anderen Seite ist. Daher ergibt sich, dass Sinus 180 Grad ergeben muss.

Der Wert 360 kommt bei der Berechnung des Sinus oder Kosinus einer ganzen Umdrehung im Einheitskreis vor, bei dem der Radius des Kreises 1 Einheit beträgt und der Kreismittelpunkt am Koordinatenursprung liegt. Der Umfang des Kreises beträgt 2π, was 360 Grad entspricht. Daher wird der Kreis in 360 Grad eingeteilt, um den Winkel zwischen zwei Punkten auf dem Kreis zu messen.

2. Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodisch, weil sie auf einem Kreis basieren, der sich endlos wiederholt. Wenn man die Sinus- oder Kosinusfunktion für einen Winkel berechnet, der um 360 Grad größer ist als ein früherer Winkel, wird man denselben Funktionswert erhalten. Das bedeutet, dass die Funktionen sich in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Periodendauer der Sinus- und Kosinusfunktion ist genau 360 Grad oder 2π Radiant.

Der Sinus und der Cosinus sind Funktionen, die sich auf den Einheitskreis beziehen. Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Wenn man eine Gerade vom Koordinatenursprung zum Kreis zeichnet, schneidet diese Gerade den Kreis in einem Punkt, der auf dem Einheitskreis liegt.

Wenn man nun diesen Punkt auf dem Einheitskreis entlang des Umfangs bewegt, ändern sich die Koordinaten des Punktes auf der x- und y-Achse. Diese Koordinaten sind der Sinus und Cosinus des Winkels zwischen der x-Achse und der Geraden vom Koordinatenursprung zum Punkt auf dem Einheitskreis.

Da der Umfang des Einheitskreises 2π beträgt (π ist ungefähr 3,141592), wird der Punkt nach einer vollen Umdrehung des Einheitskreises wieder auf seinen Ausgangspunkt zurückkehren. Deshalb haben Sinus und Cosinus eine Periode von 2π.

Die Sinus- und Cosinusfunktionen sind periodisch, weil sich der Punkt auf dem Einheitskreis alle 2π rad wiederholt. Das bedeutet, dass Sinus und Cosinus denselben Wert annehmen, wenn der Winkel um 2π erhöht wird. Wenn man die Werte von Sinus und Cosinus für Winkel zwischen 0 und 2π zeichnet, erhält man eine Kurve, die sich ständig wiederholt.

Die Periodizität der Sinus- und Cosinusfunktionen ist eine wichtige Eigenschaft, die in vielen Anwendungen der Mathematik und Physik eine Rolle spielt. Zum Beispiel kann man mithilfe von periodischen Funktionen wie Sinus und Cosinus Schwingungen, Wellen und Schall beschreiben

Hallo Iuaro,

der Einheitskreis wird mit einem Radius von 1 wie im Bild um den 0 Punkt einer X-Y-Achse gezeichnet. Je nach Größe des Winkels alpha kannst du jetzt jeweils Dreiecke mit einer Ecke im Nullpunkt, einer Ecke auf der X-Achse und einer Ecke auf dem Einheitskreis einzeichnen. Die Linie auf der X-Achse entspricht der Ankathete also dem Cosinus von alpha und die Linie nach oben oder unten entspricht der Gegenkathete also dem Sinus von alpha.

Jetzt kannst du dir unterschiedliche Möglichkeiten für den Sinus vorstellen:
- Ist der Winkel alpha Null, so liegt das Dreieck auf der X-Achse und die Linie nach oben, also der sin(alpha), ist 0.
- Ist alpha gleich 90 Grad so ist die Linie nach oben mit 1 maximal groß.
- Bei alpha gleich 180 Grad liegt das Dreieck wieder auf der X-Achse und damit ist der sin(alpha) gleich 0.
- Bei 270 Grad liegt das Dreieck auf der Y-Achse nach unten und der sin(alpha) ist damit -1 und bei alpha 360 Grad sind wir einmal im Kreis herum und haben wieder den gleichen Fall wie bei alpha gleich 0 Grad.

Für den Cosinus:
- Ist der Winkel alpha Null, so liegt das Dreieck auf der X-Achse und die Linie auf der X-Achse also der cos(alpha) ist mit 1 maximal.
- Ist alpha gleich 90 Grad so ist die Linie auf der X-Achse nicht vorhanden also 0.
-Bei alpha gleich 180 Grad liegt das Dreieck wieder auf der X-Achse, aber in negativer Richtung und damit ist der cos (alpha) -1.
- Bei 270 Grad liegt das Dreieck auf der Y-Achse nach unten und der cos(alpha) ist damit wieder 0 und bei alpha gleich 360 Grad sind wir einmal im Kreis herum und haben wieder den gleichen Fall wie bei alpha 0 Grad.

Du siehst also Sinus und Cosinus verhalten sich periodisch.

Viel Erfolg bei deiner Mathearbeit!