Wie kann man das Newtonsche Abkühlungsgesetz herleiten?

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Temperaturänderung eines Objekts und der Umgebungstemperatur. Es lautet in der Form:

\(\frac{dT}{dt} = -k \cdot (T - T_{\text{Umgebung}})\)

wobei:

\(T\) die Temperatur des Objekts zum Zeitpunkt \(t\) ist,
\(\frac{dT}{dt}\) die Änderungsrate der Temperatur mit der Zeit ist,
\(k\) die Abkühlungskonstante ist, die von den Materialeigenschaften und der Umgebung abhängt, und
\(T_{\text{Umgebung}}\) die Umgebungstemperatur ist.

Um das Newtonsche Abkühlungsgesetz herzuleiten, können wir das grundlegende Konzept der Wärmeübertragung verwenden. Die Änderung der Temperatur eines Objekts hängt von der Menge der Wärme ab, die es mit seiner Umgebung austauscht.

Die Wärmeübertragung kann durch das Newtonsche Abkühlungsgesetz beschrieben werden:

\(\frac{dQ}{dt} = -k \cdot A \cdot (T - T_{\text{Umgebung}})\)

wobei:

\(dQ\) die Änderung der Wärmeenergie ist,
\(A\) die Oberfläche des Objekts ist,
\(T\) die Temperatur des Objekts ist, und
\(T_{\text{Umgebung}}\) die Umgebungstemperatur ist.

Die Änderung der Wärmeenergie (\(dQ\)) ist gleich der Änderung der Temperatur (\(dT\)) multipliziert mit der spezifischen Wärmekapazität (\(C\)) des Objekts:

\(dQ = C \cdot dT\)

Setzen wir dies in die Gleichung für die Wärmeübertragung ein:

\(C \cdot \frac{dT}{dt} = -k \cdot A \cdot (T - T_{\text{Umgebung}})\)

Nun können wir \(\frac{dT}{dt}\) isolieren:

\(\frac{dT}{dt} = -\frac{k}{C} \cdot A \cdot (T - T_{\text{Umgebung}})\)

Da \(\frac{k}{C}\) eine Konstante ist, können wir sie als \(k\) schreiben:

\(\frac{dT}{dt} = -k \cdot A \cdot (T - T_{\text{Umgebung}})\)

Und das ist das Newtonsche Abkühlungsgesetz in seiner bekannten Form. Es beschreibt, wie sich die Temperatur eines Objekts mit der Zeit ändert, wenn es Wärme an seine Umgebung abgibt und dabei auf die Umgebungstemperatur zustrebt.

Danke erstmal für die Mühe die Sie sich gemacht haben. Jedoch habe ich meine Frage etwas problematisch formuliert, ich meine nämlich wie man von der Gleichung in meiner vorherigen Frage zu der Gleichung T(t)=T Umgebung + (T0 -T Umgebung) × e hoch -k × t kommt. Danke nochmals

Kein Problem, verstehe okay, also um von der Differentialgleichung

\(\frac{dT}{dt} = -k \cdot (T - T_{\text{Umgebung}})\)

zu der Lösung

\(T(t) = T_{\text{Umgebung}} + (T_0 - T_{\text{Umgebung}}) \cdot e^{-k \cdot t}\)

zu gelangen, können wir die Methode der Trennung der Variablen verwenden. Hier mein Lösungsweg:

Schritt 1: Trennung der Variablen

Zuerst teilen wir die Gleichung, um alle Terme mit \(T\) auf einer Seite und alle Terme mit \(t\) auf der anderen Seite zu haben:

\(\frac{1}{T - T_{\text{Umgebung}}} dT = -k \cdot dt\)

Schritt 2: Integration

Jetzt integrieren wir beide Seiten der Gleichung. Auf der linken Seite verwenden wir das Integralzeichen \(\int\) für die Integration und auf der rechten Seite ebenfalls:

\(\int \frac{1}{T - T_{\text{Umgebung}}} dT = \int -k \cdot dt\)

Das linke Integral ist ein natürlicher Logarithmus (ln):

\(ln|T - T_{\text{Umgebung}}| = -k \cdot t + C_1\)

Hierbei ist \(C_1\) eine Integrationskonstante.

Schritt 3: Exponentialfunktion anwenden

Um das \(ln\)-Argument zu isolieren, nehmen wir die Exponentialfunktion auf beiden Seiten:

\(|T - T_{\text{Umgebung}}| = e^{-k \cdot t + C_1}\)

Jetzt können wir die Exponentialfunktion in zwei Teile aufteilen:

\(|T - T_{\text{Umgebung}}| = e^{C_1} \cdot e^{-k \cdot t}\)

Da \(e^{C_1}\) eine Konstante ist, können wir sie als \(C_2\) schreiben:

\(|T - T_{\text{Umgebung}}| = C_2 \cdot e^{-k \cdot t}\)

Schritt 4: Betrag entfernen

Da \(|T - T_{\text{Umgebung}}|\) auf der linken Seite immer positiv ist, können wir den Betrag entfernen:

\(T - T_{\text{Umgebung}} = C_2 \cdot e^{-k \cdot t}\)

Schritt 5: Isolieren von T

Jetzt fügen wir \(T_{\text{Umgebung}}\) auf beiden Seiten hinzu:

\(T = T_{\text{Umgebung}} + C_2 \cdot e^{-k \cdot t}\)

Da \(C_2\) eine Konstante ist, können wir sie als \((T_0 - T_{\text{Umgebung}})\) schreiben:

\(T(t) = T_{\text{Umgebung}} + (T_0 - T_{\text{Umgebung}}) \cdot e^{-k \cdot t}\)

Und das ist die gesuchte Lösung des Newtonschen Abkühlungsgesetzes, die die Temperatur \(T\) als Funktion der Zeit \(t\) beschreibt.

Dankeschön