Welche Versicherung nach Hauskauf übernehmen?

Guten Abend zusammen,

meine Frau und ich haben uns vor einigen Wochen den Traum vom Eigenheim erfüllt. Wir haben ein rund 100 Jahre altes Einfamilienhaus gekauft. Notartermin und Grundbucheintragung sind geschafft. Nun haben wir vom Vorbesitzer die Mitteilung bekommen, dass die Wohngebäudeversicherung auf uns umgeschrieben werden muss. Laut aktuellem Versicherungsgeber haben wir nach der Umschreibung ein vierwöchiges Kündigungsrecht.
Nun stehen wir vor dem großen Rätsel, welche Versicherungen wir dringend für unser neues Haus benötigen.

Gibt es sogenannte Pflichtversicherungen, um die ich als Hausbesitzer nicht drum herum komme? Sollen wir die Wohngebäudeversicherung weiterhin behalten? Was deckt diese genau ab?
Unsere aktuelle Hausratversicherung, welche auch Glasschäden abdeckt, werden wir fortführen und auf die neue Wohnfläche anpassen lassen.
Was hat es allerdings mit einer Haushaftpflicht auf sich? Bedeutet "Pflicht", dass diese für alle Hauseigentümer verpflichtend ist? Wenn ja, was steckt dahinter?

Wir werden mit einer recht neuen, vier Jahre alten Ölheizung heizen. Diese ist im Erdreich vergraben. Der Vorbesitzer hat den Öltank ebenfalls versichert, meinte allerdings, dass dies optional wäre. Wie ist eure Meinung hierzu?

Wir wollen gut abgesichert sein, aber unnötige Versicherungen, die uns außer einem leeren Geldbeutel nichts nützen, gerne vermeiden.
Für Tipps wären wir euch sehr dankbar.